竟连狗都不如，恐龙的脸都被你丢尽了！

引言

霸王龙，一直以来都是古生物学中备受关注的焦点之一。它多次出现在学术期刊、古生物画廊、《侏罗纪》系列电影中，几乎是恐龙形象的终极代言。

图 1: 电影《侏罗纪公园》中霸王龙追车场景

成年霸王龙体长约 12 米，体重 7 吨左右，是地球上有史以来最大的陆地捕食者之一。关于它的各个方面，从巨大的体型到强大的颚部咬合力，都曾激发了科学家和恐龙迷们的无尽好奇。

图 2: 美国自然历史博物馆展出的霸王龙骨架

在 1993 年上映的电影《侏罗纪公园》中，有一段霸王龙追逐吉普车的刺激场景（图 1）。这场追逐引发了一个令人着迷的问题：如果遇上一只真正的霸王龙，吉普车会有逃脱的机会吗？

图 3: 美德克萨斯州发现的一亿年前的恐龙足迹

一只成年霸王龙究竟能跑多快？这个问题似乎没有一个确定的答案，因为没有人亲眼见过真正的恐龙。恐龙给我们留下的只有它们的骨架（图 2）和足迹（图 3）。多年来，科学家们一直努力通过各种方法和计算模型来估算霸王龙的奔跑速度^[1-3]。然而，不同的研究给出了不同的结论，使得这个问题变得更加扑朔迷离。本文将采用量纲分析的方法，建立动物步行和奔跑速度与腿长以及步幅之间的关系。基于这一关系，我们将对霸王龙的步行和奔跑速度进行估算。

模型

动物的步行和奔跑速度通常可以表示为步幅和步频的乘积。尽管我们可以根据恐龙的骨架和足迹估算出它们的腿长和步幅（图 4），但却无法直接获取它们的步频信息。因此，我们难以直接估算霸王龙的速度。

图 4: 霸王龙的腿长，以及走和跑的步幅^[4]

然而，不同动物在步行和奔跑时可能会表现出一定的相似性，我们可以通过这种相似性推测霸王龙步行和奔跑速度。研究人员收集了沙鼠、狗、成年男子和骆驼的腿长，以及它们以不同速度运动时的步幅长度，详细数据见附录。图 5 给出了双足行走和四足行走动物的步幅和腿长定义。步幅又称复步长或跨步长，是指行走时同一只足的足跟两次着地所行进的距离。而腿长则是指在正常站立时髋关节距离地面的高度。

图 5: 步幅和腿长的定义

为了确定动物的速度与步幅长度之间的关系，我们绘制了四种动物的步幅长度和相应速度的数据散点图，如图 6 所示。图中的横坐标表示步幅长度，纵坐标表示速度。

图 6: 四种动物步幅和速度的线性拟合

从图中可以看出，对于每种动物，其数据点都分布在一条直线附近。为了更加确定这一关系，我们对每种动物的数据进行了线性拟合，拟合结果分别为：相应的拟合直线已经绘制在图 6 中，拟合效果良好。但这种线性模型也存在一些问题：当步幅非常小（  0）的时候，以上四个公式都会给出负的速度。这表明，对于某种特定的动物，当步幅不太小时，速度随着步幅的增加而呈线性增长。

尽管数据表明每种动物的速度与其步幅之间存在线性关系，但这并不足以用来估计恐龙的速度。原因在于每种动物的速度与步幅之间的线性关系并不相同，我们无法直接应用于恐龙。目前为止，我们还没有考虑到动物的腿长因素。我们知道，速度可以表示为步幅与步频的乘积。而步频很可能与腿长有关。这是因为步行和奔跑时，腿的前后摆动类似于单摆运动，而单摆的频率与摆长和重力加速度相关。因此，动物的速度不仅与步幅相关，还可能与腿长和重力加速度有关。然而，具体的关系很难从现有数据中获得。这种情况下，我们可以借助量纲分析^[5]的方法来构建这些相关因素之间的函数关系。

图 7: 量纲分析的基本原理

量纲分析是一种常见于物理学和工程学领域的方法，用于分析物理现象中各个物理量之间的关系。它主要是利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次法则构建数学模型。量纲齐次法则要求在任何数学模型或物理规律的数学表达式中，每一个加项的量纲必须一致，或者每一个加项都是无量纲的（图 7）。量纲分析的主要内容就是著名的  定理：如果一个物理问题中包含  个变量，而基本量的数目为 ，那么必然存在  -  个无量纲变量，并且它们之间存在着确定的函数关系。

量纲分析首先要确定问题中涉及的基本物理量。本问题涉及的基本物理量为动物的速度 、步幅 、腿长  和重力加速度 。根据上文的分析，速度  可以表示成如下函数：其次，我们需要确定这些物理量的量纲，并导出与问题相关的无量纲量。如果用 L 表示长度的量纲，T 表示时间的量纲，则当前问题所涉及的 4 个物理量的量纲分别为：[] = LT^-1，[] = [] = L，[]= LT^-2。在这些物理量中，只有 2 个独立量纲，可以取  和  为基本量，并将它们作为单位系统。速度  的量纲可以表示为这两个基本量的量纲的幂次组合：即 容易解得  =  = 1/2。同样，步幅  的量纲也可以表示为这两个基本量的量纲的幂次组合： 显然有  = 1， = 0。由此，可确定出与问题相关的两个无量纲量：我们称  和  分别为无量纲速度和无量纲步幅。根据  定理，上述两个无量纲量之间形成确定的函数关系。因此，问题的模型可表示为以下无量纲关系：上式表明无量纲量  和  存在函数关系，但具体的函数形式需要通过数据来确定。

线性模型

为了确定函数  的具体形式，我们定义  = ， = ，然后把四种动物的数据转化成二维直角坐标系中的点，并将它们绘制在图 8 中。令人惊讶的是，所有这些数据点都分布在一条直线附近。因此，我们假设无量纲步幅  和无量纲速度  满足线性关系：其中  和  为常数。利用图 8 中的数据点拟合可得  = 0.72、 = - 0.67，相应的拟合直线已经绘制在图 8 中。拟合相关系数（优度） 高达 0.9514，表明拟合效果良好。

图 8: 无量纲步幅和无量纲速度线性拟合

由此，我们可以得到速度与步幅和腿长的关系：将图 4 中所示的成年霸王龙参数（腿长  = 1.93 m，步幅  = 2.7 或 5.65 m）代入上式，可以计算出霸王龙的步行和奔跑速度：也就是说，霸王龙的步行和奔跑速度范围在 1.49 到 6.30 m/s 之间，相当于 5.38 到 22.70 km/h。而此前科学家估计该霸王龙步行和奔跑的速度范围为 6.8 到 29.2 km/h^[4]，这与我们的模型结果非常接近。

幂函数模型

尽管上文中的线性模型对数据提供了不错的描述和预测，但仔细分析会发现模型仍然存在一些不太令人满意之处。例如，当  < 0.67/0.72 = 0.93 时，线性模型会产生负的速度值。但我们知道当步幅  > 0 时，速度  也应该大于 0；当步幅  = 0 时，速度  也应该等于 0。此外，观察图 8 中的数据， < 2 的几个数据点都在拟合直线的上方。这些都表明无量纲步幅  和无量纲速度  之间的关系可能不是线性的，而且这条曲线应该是微微向下凹的。满足条件的最简单模型当属幂函数：其中  和  为常数。实际上，幂函数模型也是量纲分析中最常用的模型。通过对图 9 中的数据点进行拟合，可得参数值  = 0.34、 = 1.34，相应的拟合曲线已经绘制在图 9 中。拟合优度  高达 0.9529。从拟合的相关系数以及数据点在图中的分布情况来看，都可以得出拟合效果非常好。

图 9: 无量纲步幅和无量纲速度幂函数拟合

由此，我们可以得到速度与步幅和腿长的关系：将图 4 中所示的霸王龙参数（ = 1.93 m， = 2.7 或 5.65 m）代入上述幂函数模型，可以得到霸王龙步行和奔跑的速度：这表明，霸王龙的步行和奔跑速度范围在 2.31 到 6.19 m/s 之间，相当于 8.32 到 22.30 km/h。与之前线性模型得出的结果（5.38 到 22.70 km/h）相比，可以看到速度的上限相差不大，但速度的下限存在明显差异。

结论

本文探讨了霸王龙步行和奔跑速度的估算问题。尽管我们可以通过恐龙的骨架和足迹来估算它们的腿长和步幅，但直接估算霸王龙的速度却十分困难。通过分析不同动物的步行和奔跑特征，本文确定了影响动物速度的物理量：步幅、腿长和重力加速度。在此基础上，应用量纲分析，本文得到了两个无量纲量，即无量纲步幅和无量纲速度，并确定了它们之间存在某种函数关系。通过对不同动物的数据分析，本文发现这种函数关系很可能是线性关系。通过对数据的线性拟合，本文得到了线性模型。应用该模型，本文估算出了霸王龙的步行和奔跑速度速度范围在 5.4 km/h 到 22.7 km/h 之间。

然而，考虑到线性模型在无量纲步幅较小时会给出错误的结果，本文又提出了幂函数模型，并对霸王龙的速度重新进行了估算，结果显示其速度范围在 8.3 km/h 到 22.3 km/h 之间。

图 10: 不同动物的奔跑速度

两种模型的结果都表明，霸王龙奔跑的速度大约为 22.5 km/h（相当于 6.25 m/s）。在动物界，这个速度算比较慢的了，甚至比不上人类的奔跑速度，更不用说追赶狗了（图 10）。总体而言，两种模型对于霸王龙的速度估算相差不大，但考虑到实际情况，本文认为幂函数模型更为合理。本文基于量纲分析得到的模型具有一般性，可用于估算各种未知动物的速度，包括各种恐龙。

附录

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参考资料

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